一、设向量a,向量b是两个不平行的非零向量,且x(2向量a+向量b)+y(3向量a-2向量b)=7向量a,x、y属于R,求x、y的值.二、已知向量e1、向量e2是两个不共线的非零向量,向量AB=3向量e1-2向量e2,向量BC=-2向量

Question

一、设向量a,向量b是两个不平行的非零向量,且x(2向量a+向量b)+y(3向量a-2向量b)=7向量a,x、y属于R,求x、y的值.
二、已知向量e1、向量e2是两个不共线的非零向量,向量AB=3向量e1-2向量e2,向量BC=-2向量e1+4向量e2,向量CD=-2向量e1-4向量e2,证明：A、C、D三点共线.
三、在三角形ABC中,AD、BE、CF三条中线交于点G,求证：向量GD+向量GE+向量GF=零向量

Answer 1

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1.x(2向量a+向量b)+y(3向量a-2向量b)=7向量a,
化简后得,
(2X+3Y)a+(x-2y)b=7a,则有
2X+3Y=7,
X-2Y=0,
解得,
X=2,Y=1.
2.证明：A、C、D三点共线,
即是证明:向量AC=m1*向量CD=m2*向量AD,实数m1,m2都不等于零.
向量AB=3e1-2e2,
向量BC=-2e1+4e2,
向量CD=-2e1-4e2.
向量AC=向量AB+向量BC=e1+2e2,
向量CD=向量BD-向量BC=-2(e1+2e2),
向量AD=向量AB+向量BD,而向量BD=向量CD+向量BC=-4e1,
则向量AD=向量AB+向量BD=-(e1+2e2).
即有,向量AC=-2向量CD=-向量AD.
那么,A、C、D三点共线.
3.AD、BE、CF三条中线交于点G,那么点G就是ABC的重心.
而,向量BC=向量BA+向量AC,
向量BF=1/2*向量BA,
向量BD=1/2*向量BC,
向量AE=1/2*向量AC.
向量GD=1/3*向量AD,而,向量AD=向量BD-向量BA,
则,向量GD=1/3*(1/2*向量BC-向量BA)=向量BC/6-向量BA/3.
同理,
向量GE=1/3*向量BE=1/3*向量BA+1/6*向量AC,
向量GF=1/3*向量CF=-1/3*向量AC-1/6*向量BA,
向量GD+向量GE+向量GF=向量BC/6-向量BA/3+1/3*向量BA+1/6*向量AC+(-1/3*向量AC-1/6*向量BA)
=(向量BA+向量AC)/6+1/6*向量AC-1/3*向量AC-1/6*向量BA
=0.