设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个

Question

设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβ^T，则A的线性无关的特征向量个数为（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

令AX=λX，则A²X=λ²X，因为α，β正交，
所以A²=αβ^T•αβ^T=0，于是λ²X=0，
故λ₁=λ₂=λ₃=λ₄=0，
因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，
故r（A）≥1；又r（A）=r（αβ^T）≤r（α）=1，所以r（A）=1．
因为4-r（0E-A）=4-r（A）=3，
所以A的线性无关的特征向量是3个，
故选：C．