如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE=AB，∠CAD=45°．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）求证：DF⊥AB；（3）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的

Question

如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE=AB，∠CAD=45°．

（1）求证：△ABC≌△DEC；
（2）求证：DF⊥AB；
（3）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求证：a²+b²=c²．

Answer 1

（1）证明：∵AC⊥BD，∠CAD=45°，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∴AC=CD，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，

AB=DE

AC=CD

，
∴Rt△ABC≌△Rt△DEC．

（2）∵△ABC≌△DEC，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC=90°，
∴∠AFE=90°，
∴DF⊥AB．

（2）∵S_△BCE+S_△ACD=S_△ABD-S_△ABE，
∴(1)/(2)a²+(1)/(2)b²=(1)/(2)•c•DF-(1)/(2)•c•EF=(1)/(2)•c•（DF-EF）=(1)/(2)•c•DE=(1)/(2)c²，
∴a²+b²=c²