如图，P是△ABC的边AB上一点，连接CP，BE⊥CP于E，AD⊥CP，交CP的延长线于D，试解答下列问题：（1）如图①，当P为AB的中点时，连接AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形；（2）如图②，当P不

Question

如图，P是△ABC的边AB上一点，连接CP，BE⊥CP于E，AD⊥CP，交CP的延长线于D，试解答下列问题：
（1）如图①，当P为AB的中点时，连接AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形；
（2）如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连接QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．

Answer 1

证明：（1）∵P为AB中点，
∴AP=BP，
∵BE⊥CP，AD⊥CP，
∴∠ADP=∠BEP=90°，
∵∠APD=∠BEP，
∴在△ADP和△BEP中：

∠APD=∠BPE

∠ADP=∠BEP

AP=BP

∴△ADP≌△BEP（AAS），
∴DP=EP，
∴四边形ADBE是平行四边形；

（2）如图②，延长DQ交BE于F，
∵AD∥BE，
∴∠DAQ=∠BFQ，
在△ADQ和△BFQ中，

∠DAQ=∠BFQ

∠AQD=∠BQF

AQ=BQ

，
∴△ADQ≌△BFQ（AAS），
∴DQ=QF，
∵BE⊥DC，
∴QE是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即DQ=QE，
∴△QDE是等腰三角形．