如图，AB是O的直径，CD与O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．（1）求证：DC=DE；（2）若tan∠CAB=12，AB=4，求DC的长．

Question

如图，AB是 O的直径，CD与 O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=(1)/(2)，AB=4，求DC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵CD是 O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
又∵ED⊥AD，
∴∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠E=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠EAD，
故∠DCE=∠E，
∴DC=DE；

（2） 设BD=x，则AD=AB+BD=4+x，OD=OB+BD=2+x，
在Rt△EAD中，
∵tan∠CAB=(1)/(2)，
∴ED=(1)/(2)AD=(1)/(2)（4+x），
由（1）知，DC=(1)/(2)（4+x），在Rt△OCD中，
OC²+CD²=DO²，
则2²+[(1)/(2)（4+x）]²=（2+x）²，
解得x=(4)/(3)，
∴CD=(8)/(3)．