如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=12IE（AB+BC+AC）；③BE=12（AB+BC-AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是（

Question

如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S_△ABC=

(1)/(2)IE（AB+BC+AC）；③BE=(1)/(2)（AB+BC-AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是（　　）

A. ①②③

B. ①②④

C. ②③④

D. ①②③④

Answer 1

①∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，
∴∠ABI=∠IBD，
∵∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，
∵IE⊥BC于E，
∴∠IBD+∠BID+∠DIE=90°，
∴∠BID=∠CIE，
∴∠BIE=∠CID；即①成立；
②∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴点I到△ABC三边的距离相等，
∴S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△ACI=(1)/(2)•AB•IE+(1)/(2)BC•IE+(1)/(2)AC•IE=(1)/(2)IE（AB+BC+AC），即②成立；
③如图过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，
∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴IE=IH=IG，
在R_t△AHT与△R_tAGI中，

AI=AI

AH=AG

，
∴R_t△AHT≌△R_tAGI，
∴AH=AG，同理BE=BF，CE=CG，
∴BE+BH=AB+BC-AH-CE=AB+BC=AC，
∴BE=(1)/(2)（AB+BC-AC）；即③成立；
④由③证得IH=IE，
∵∠FHI=∠IED=90°，
∴△IHF与△DEI不一定全等，
∴HF不一定等于DE，
∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，即④错误．
故选A．