三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2，（1）当AB=8时，求三角形ABC的面积；（2）当AB变化时，求证：AP的值为定值，并求出这个定值．

Question

三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2，
（1）当AB=8时，求三角形ABC的面积；
（2）当AB变化时，求证：AP的值为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）过C作CD⊥AB，交AD于D，
设BD=x，则AD=8-x，又BC=6，AB=8，AC=(1)/(2)AB=4，
在Rt△BDC中，根据勾股定理得：x²+CD²=6²①，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：（8-x）²+CD²=4²②，
联立①②，消去CD²得：x²-36=（8-x）²-16，
即16x=84，解得：x=(21)/(4)，
把x=(21)/(4)代入①得：CD=√(36−(441)/(16))=(3√(15))/(4)，
则S_△ABC=(1)/(2)AB•CD=(1)/(2)×8×(3√(15))/(4)=3√(15)；

（2）过A作AE⊥CP，交CP于E，如图所示：
设CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：x²+y²=a²①，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：（6+x）²+y²=（2a）²②，
①-②得：-4x=12-a²③，
在Rt△AEP中，根据勾股定理得：
AP²=AE²+EP²=y²+（2-x）²=x²+y²-4x+4，
将①和③代入得：AP²=a²+12-a²+4=16，
开方得：AP=4，
则AP的值为定值，且定值为4．