如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．

Question

如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连结BD，CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC．
在Rt△DEB和Rt△DFC中

DB＝DC

DE＝DF

，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF；
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD＝AD

DE＝DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AF+EB，
∴AB=AC+CF+EB．
∵AB=8，AC=4，
∴8=4+CF+EB，
∴CF+EB=4，
∴2EB=4，
∴EB=2．
∴AE=8-2=6．
答：AE的长为6．