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(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+
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(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fcfaaf51f3deb48f195b6e6ff31f3a292df57855.jpg)
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形是ABCD正方形,
∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴∠B=∠FDC,
∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴CE=CF.
(2)证明:如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴GE=GF,
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)如图3,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,
∴∠A=∠B=90°,
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC.…(7分)
∵∠DCE=45°,
根据(1)(2)可知,ED=BE+DG.…(8分)
∴10=4+DG,
即DG=6.
设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6,
在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,即102=(x-6)2+(x-4)2.
解这个方程,得:x=12或x=-2(舍去).…(9分)
∴AB=12.
∴S梯形ABCD=
(AD+BC)•AB=
×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面积为108.…(10分)
∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴∠B=∠FDC,
∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴CE=CF.
(2)证明:如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴GE=GF,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e1fe9925bc315c60aaa7a45e8eb1cb1349547755.jpg)
(3)如图3,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,
∴∠A=∠B=90°,
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC.…(7分)
∵∠DCE=45°,
根据(1)(2)可知,ED=BE+DG.…(8分)
∴10=4+DG,
即DG=6.
设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6,
在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,即102=(x-6)2+(x-4)2.
解这个方程,得:x=12或x=-2(舍去).…(9分)
∴AB=12.
∴S梯形ABCD=
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即梯形ABCD的面积为108.…(10分)
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