如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．（1）求证：△AEM是等边三角形；（2）若AE=1，求△ABC的面积．

Question

如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．

（1）求证：△AEM是等边三角形；
（2）若AE=1，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高线，
∴∠ABD=30°，
∴∠E=60°，
∵点M是BE的中点，
∵AM=(1)/(2)BE=EM，
∴△AEM是等边三角形；
（2）∵AE=1，∠EAB=90°，
∴BE=2AE=2，
由勾股定理得：AB=√(BE2−AE2)=√(22−11)=√(3)，
∴AD=(√(3))/(2)，
∴BD=(3)/(2)，
∴S_△ABC=(1)/(2)×√(3)×(3)/(2)=(3√(3))/(4)．