如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．（1）运动几秒后

Question

如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．

（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．
设x秒时，△ADE为直角三角形，
∴∠ADE=90°，CD=0.5x，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∴4+0.5x=2（4-0.5x），
∴x=(8)/(3)；
答：运动(8)/(3)秒后，△ADE为直角三角形；
（2）作DG∥AB交BC于点G，
∴∠GDP=∠BEP，∠DGP=∠EBP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，
∴∠C=∠CDG=∠CGD，
∴△CDG是等边三角形，
∴DG=DC，
∵DC=BE，
∴DG=BE．
在△DEP和△EBP中

∠GDP＝BEP

DG＝EB

∠DGP＝∠EBP

，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP=PE．
∴在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．