P为平行四边形ABCD的对角线上一点,过点P的直线与AD,BC,CD的延长线、AB的延长线分别交于点E,F,G,H.求证：PE*PG=PF*PH

Question

P为平行四边形ABCD的对角线上一点,
过点P的直线与AD,BC,CD的延长线、AB的延长线分别交于点E,F,G,H.求证：PE*PG=PF*PH

Answer 1

解:从左上开始,按反时针排平行四边形ABCD,过对角线BD
上P点作EF//BC,(E在AB上,F在CD上),GH//CD,(G在BC上,H在AD上) 则平行四边形AEFD的面积=平行四边形GCDH的面积.证明如下.
证:对角线BD分平行四边形为两个相等三角形,
△BAD,△BCD 且其
面积相等: S△BAD=S△BCD ,
故四边形AEPD的面积与四边形CGPF的面积相等,即
S◇AEPD=S◇CGPD, 且 S△PHD=S△PFD
故 SAEPD+S△PFD=SCGPD+S△PHD
即, S◇AEFD=S◇GCDH
证毕.
另五对面积相等的四边形:
1.AEFD=CGHD
2.AEPD=CGPD
3.AEPH=CGPH
4.ABPH=CBPF
5.ABGH=BEFC
( 等量之和相等,等量之差相等)
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