△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acosB=3b-2bcosA．（1）求bc的值；（2）设AB的中垂线交BC于D，若cos∠ADC=1732，b=2，求△ABC的面积．

Question

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acosB=3b-2bcosA．

（1）求(b)/(c)的值；
（2）设AB的中垂线交BC于D，若cos∠ADC=(17)/(32)，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵2acosB=3b-2bcosA，
∴2sinAcosB=3sinB-2sinBcosA
∴2sin（A+B）=3sinB，则2sinC=3sinB，
由正弦定理得，(b)/(c)=(sinB)/(sinC)=(2)/(3)；
（2）∵AB的中垂线交BC于D，∴DA=DB，则∠B=∠BAD，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∵cos∠ADC=(17)/(32)，∴cos∠ADC=1-2sin²B=(17)/(32)，
解得sinB=(√(15))/(8)，
由B是锐角得，cosB=√(1-sin2B)=(7)/(8)，
∵在△ABC中，b=2，且(b)/(c)=(2)/(3)，∴c=3，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∴4=a2+9-2×3×a×(7)/(8)，解得a=4或(5)/(4)，
∵BD=((3)/(2))/(cosB)=(12)/(7)>(5)/(4)，∴a=(5)/(4)舍去，
∴△ABC的面积S=(1)/(2)acsinB=(1)/(2)×4×3×(√(15))/(8)=(3√(15))/(4)．