已知点A是圆F1：（x+3）2+y2=16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称．线段AF2的中垂线m分别与AF1AF2交于M、N两点．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点

Question

已知点A是圆F₁：（x+√(3)）²+y²=16上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段AF₂的中垂线m分别与AF₁AF₂交于M、N两点．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

（I）由题意得，F₁（-√(3)，0），F₂（√(3)，0）
圆F₁的半径为4，且|MF₂|=|MP|（2分）
从而|MF₁|+|MF₂|=4＞|F₁F₂|=2√(3)
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其中长轴2a=4，焦距2c=2√(3)，
则短半轴b=1，
∴椭圆方程为：(x2)/(4)+y2＝1；
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线与椭圆联立消去y得
（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=64k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x₁+x₂=(−8km)/(1+4k2)，x₁x₂=(4(m2−1))/(1+4k2)．
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以(y1y2)/(x1x2)=k²，
即(−8k2m2)/(1+4k2)+m²=0，又m≠0，
所以k²=(1)/(4)，即k=±(1)/(2)．
由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2且m²≠1．
设d为点O到直线l的距离，
则S_△OPQ=(1)/(2)d|PQ|=(1)/(2)|x₁-x₂||m|=√(m2(2−m2))，
所以S_△OPQ的取值范围为（0，1）．