3.F1,F2分别是椭圆x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1（a>b>0）的左,右焦点,若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是4.f(x)=-x(x-a)^2(x∈R)当a>3时,求对于任意实数K∈[-1,0],使

Question

3.F1,F2分别是椭圆x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1（a>b>0）的左,右焦点,若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是_____
4.f(x)=-x(x-a)^2(x∈R)
当a>3时,求对于任意实数K∈ [-1,0],使不等式f(K-cosx)≥f[K^2-(cosx)^2]恒成立的x的取值范围

Answer 1

1,1>当P点不在x轴上时,由P在椭圆的右准线(方程为x=a^2/c)上设P的坐标为P（a^2/c,Yo),所以直线PF1的斜率为[（a^2/c)+c]/Yo,因此与直线PF1垂直且过点F2的直线斜率为 -Yo/[（a^2/c)+c],所以此直线方程为:y={-Yo/[（a^2/c)+c]}*(x-c),当此直线为线段PF1的中垂线时它过线段F1P的中点([（a^2/c)-c]/2,Yo/2),所以将此中点坐标代入过F2且垂直于直线PF1的方程,得：Yo^2/2={[-(a^2/c)+c]*[(b^2/2c)-c)]}/Yo （注意,我使用了a^2=b^2+c^2这一关系式使形式更简洁）,
整理得：Yo^2=-2*[(a^2+c^2)/c]*[(a^2-3c^2)/2c]...(1)
因为在题设条件下点P存在的充要条件是关于Yo的方程（1）有非零实数根.
所以（1）的右边>0,即-2*[(a^2+c^2)/c]*[(a^2-3c^2)/2c]>0
化简得：(a^4/c^2)-2a^2-3c^2=a^2*[(1/e^2)-2-3e^2]>0,所以
(1/e^2)-2-3e^2〉0,解得：e^2>1/3,结合0