（2014•盐都区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是圆上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请画出图形，并说明理

Question

（2014•盐都区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是圆上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请画出图形，并说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

Answer 1

（1）当点P是

BC

的中点时，DP是⊙O的切线．如图：
理由如下：
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直径，
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切线．

（2）连接OB，设PA交BC于点E．
由垂径定理，得BE=(1)/(2)BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE=√(AB2−BE2)=√(102−62)=8，
设⊙O的半径为r，则OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r²=6²+（8-r）²，
解得r=(25)/(4)，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴(BE)/(DP)=(AE)/(AP)，即(6)/(DP)=(8)/(2×(25)/(4))，
解得：DP=(75)/(8)．