已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F为CE的中点，连接AF、DF．（1）求证：△AFD为等腰三角形；（2）若AB=3，AD=5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出当△AFD的面积为整数时所

Question

已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F为CE的中点，连接AF、DF．

（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若AB=3，AD=5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出当△AFD的面积为整数时所有AE的长．

Answer 1

（1）证明：延长AF交DC延长线于点M，如图，
∵四边形ABCD为ABCD，
∴AB∥CD，∠ADC=90°，
∴∠EAF=∠M，
在△AFM和△MFC中

∠EAF=∠M

FE=FC

∠AFE=∠MFC

，
∴△AFM≌△MFC，
∴AF=FM，
∴DF为Rt△ADM的斜边AM上的中线，
∴AF=DF=MF，
∴△AFD为等腰三角形；
（2） 设AE=x，△ADF的面积用S表示，
∵△AFM≌△MFC，
∴CM=AE=x，
∵AF=MF，
∴S_△ADF=(1)/(2)S_△ADM=(1)/(2)•(1)/(2)•5•（3+x），
即S=(5x+15)/(4)，
∴x=(4S-15)/(5)，
∵0<x<3，
∴0<(4S-15)/(5)<3，解得3.75<S<7.5，
∴S的整数值为4、5、6、7，
当S=4时，x=(4S-15)/(5)=(1)/(5)，
当S=5时，x=(4S-15)/(5)=1，
当S=6时，x=(4S-15)/(5)=(9)/(5)，
当S=7时，x=(4S-15)/(5)=(13)/(5)，
即当△AFD的面积为整数时AE的长为(1)/(5)，1，(9)/(5)，(13)/(5)．