要求tan45°的值，可构造直角三角形进行计算，如图所示，作Rt△ABC，使∠C=90°，直角边AC=BC=1，斜边AB=2．∠ABC=45°，所以tan45°=ACBC=11=1．（1）在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求

Question

要求tan45°的值，可构造直角三角形进行计算，如图所示，作Rt△ABC，使∠C=90°，直角边AC=BC=1，斜边AB=√(2)．∠ABC=45°，所以tan45°=(AC)/(BC)=(1)/(1)=1．

（1）在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan22.5°的值．请简要写出你添加的辅助线，并求出tan22.5°的值；
（2）仿照（1）求出tan15°的值．

Answer 1

（1）延长CA到D，使DA=AC，连结DB，如图1，
Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=1，AB=√(2)．∠ABC=45°，
∵AD=AB=√(2)，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD=45°，
∴∠D=22.5°，
在Rt△BDC中，tanD=(BC)/(DC)=(1)/(√(2)+1)=√(2)-1，
即tan22.5°=√(2)-1；
（2）Rt△ABC，∠C=90°，AC=√(3)，BC=1，AB=2，∠BAC=30°，延长CA到D，使AD=AB=2，
∵AD=AB=√(2)，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD=30°，
∴∠D=15°，
在Rt△BDC中，tanD=(BC)/(DC)=(1)/(2+√(3))=2-√(3)，
即tan15°=2-√(3)．