在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，AD是BC边上的高，且AD=BC（Ⅰ）若B=C，求sinA的值；（Ⅱ）求cb+bc的取值范围．

Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，AD是BC边上的高，且AD=BC
（Ⅰ）若B=C，求sinA的值；
（Ⅱ）求(c)/(b)+(b)/(c)的取值范围．

Answer 1

.（I）∵B=C

∴AD=2BD=2DC，
即tan(A)/(2)＝(1)/(2)，
∴tanA=(2×(1)/(2))/(1−((1)/(2))2)＝(4)/(3)，
∴sinA=(4)/(5)．
（II）由题意得：(1)/(2)bcsin⁡A＝(1)/(2)a2，
∴(a2)/(bc)＝sin⁡A，
则(c)/(b)+(b)/(c)=(b2+c2)/(bc)＝(a2+bccos⁡A)/(bc)＝sin⁡A+2cos⁡A=√(5)sin(A+θ)，其中cosθ＝(1)/(√(5))，(π)/(3)＜θ＜(π)/(2)，
易知B=C时，A最大，设为a，
由 （I）知，(π)/(4)＜A＜(π)/(3)，
又0＜A＜π，
∴A+θ∈（θ，θ+π）⊆（0，π），
∴当A+θ=(π)/(2)，即√(5)sin(A+θ)取到最大值√(5)，
当A→0时，√(5)sin(A+θ)→2且√(5)sin(A+θ)＞2，
当A=π时，√(5)sin(A+θ)=√(5)×((4)/(5)×(1)/(√(5))+(3)/(5)×(2)/(√(5)))＝2，
∴(c)/(b)+(b)/(c)∈[2，√(5)]．