直角三角形斜边中线等于斜边一半的逆定理有没有

Question

直角三角形斜边中线等于斜边一半的逆定理有没有

Answer 1

【直角三角形斜边中线等于斜边的一半有逆命题，但证明题不能直接运用】

【如果三角形的一边中线等于该边长的一半，那么三角形为直角三角形。】

设在△ABC中，AD为BC边的中线，且AD=1/2BC，求证：△ABC为直角三角形。

【证法1】

∵AD是BC边的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵AD=1/2BC，

∴BD=AD=CD，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∴∠1+∠2=∠B+∠C，

即∠BAC=∠B+∠C，

∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和180°），

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是直角三角形。

【证法2】

取AC的中点E，连接DE。

∵AD是BC边的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵AD=1/2BC，

∴AD=CD，

∵点E是AC的中点，

∴DE⊥AC（三线合一），

∴∠DEC=90°，

∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//AB，

∴∠BAC=∠DEC=90°，

∴△ABC是直角三角形。

【证法3】

延长AD到E，是DE=AD，连接BE、CE。

∵AD是BC边的中线，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，

∴四边形ABEC是平行四边形（对角线相等的四边形是平行四边形），

∵AD=1/2BC，AD=DE=1/2AE，

∴BC=AE，

∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），

∴∠BAC=90°（矩形的内角均为直角），

∴△ABC是直角三角形。