在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+2mx-m2+1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1<y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+2mx-m²+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y₁），E（3，y₂）在抛物线上，若y₁<y₂，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当-1<p<2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=-(b)/(2a)=-(2m)/(-1×2)=1．
解得：m=1．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x．
（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=-3²+2×3=-3．
将y=-3代入得：-x²+2x=-3．
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵a=-1<0，
∴当n<-1或n>3时，y₁<y₂．
（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：

∵当P=-1时，q=-（-1）²+2×（-1）=-3．
∴点M关于y轴的对称点M₁′的坐标为（1，-3）．
∵当P=2时，q=-2²+2×2=0，
∴点M关于y轴的对称点M₂′的坐标为（-2，0）．
①当k<0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，
∴-2k-4≤0．
解得：k≥-2．
②当k>0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，
∴k-4≤-3．
解得；k≤1．
∴k的取值范围是-2≤k≤1．