已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B，联结OC．（1）如图1，求证：AB∥

Question

已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O ₁ ，射线AO ₁ 交半圆O于点B，联结OC．

（1）如图1，求证：AB ∥ OC；
（2）如图2，当点B与点O ₁ 重合时，求证：

AB

=

CB

；
（3）过点C作射线AO ₁ 的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O ₁ B=1时，求 (CF)/(AF) 的值．

Answer 1

（1）∵点O ₁ 与点O关于直线AC对称，
∴∠OAC=∠O ₁ AC．
在⊙O中，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C．
∴∠C=∠O ₁ AC，
∴O ₁ A ∥ OC，
即AB ∥ OC；

（2）方法一：如图2，连结OB．
∵点O ₁ 与点O关于直线AC对称，AC⊥OO ₁ ，
由点O ₁ 与点B重合，可得AC⊥OB．
∵点O是圆心，AC⊥OB，
∴

AB

=

CB

；

方法2：∵点O ₁ 与点O关于直线AC对称，
∴AO=AO ₁ ，CO=CO ₁ ，
由点O ₁ 与点B重合，可得AO=AB，CB=CO，
∵OA=OC，
∴AB=CB．
∴

AB

=

CB

；

（3）当点O ₁ 在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH ∥ CE，
又∵AB ∥ OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO ₁ +O ₁ B=AO+O ₁ B=6且OH⊥AB，
∴AH= (1)/(2) AB=3．
∴AE=EH+AH=5+3=8，
∵AB ∥ OC，
∴ (CF)/(AF) = (OC)/(AE) = (5)/(8) ，
当点O ₁ 在线段AB的延长线上，如图4，
过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH ∥ CE，
又∵AB ∥ OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO ₁ -O ₁ B=AO-O ₁ B=4，
又∵OH⊥AB，
∴AH= (1)/(2) AB=2．
∴AE=EH+AH=5+2=7，
∵AB ∥ OC，
∴ (CF)/(AF) = (CO)/(AE) = (5)/(7) ．