在平行四边形ABCD中（∠B为锐角），AB=5，AD=7，点D关于直线AC的对称点为点E，连接AE与BC交于G．（1）若AG⊥BC，如图（1），求tan∠BAG；（2）若平行四边形ABCD的面积为146，如图（2），求BG的长

Question

在平行四边形ABCD中（∠B为锐角），AB=5，AD=7，点D关于直线AC的对称点为点E，连接AE与BC交于G．
（1）若AG⊥BC，如图（1），求tan∠BAG；
（2）若平行四边形ABCD的面积为14√(6)，如图（2），求BG的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=7，
∴∠DAC=∠BCA，
∵点D关于直线AC的对称点为点E，
∴∠EAC=∠DAC，
∴∠EAC=∠BCA，
∴AG=CG，
设BG=x，则AG=CG=7-x，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=90°，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：BG²+AG²=AB²，
即x²+（7-x）²=5²，
解得：x=3或x=4，
∴当BG=3时，AG=4，tan∠BAG=(BG)/(AG)=(3)/(4)；
当BG=4时，AG=3，tan∠BAG=(BG)/(AG)=(4)/(3)；
∴tan∠BAG的值为(3)/(4)或(4)/(3)；
（2）作AH⊥BC于H，如图2所示：
∵平行四边形ABCD的面积=BC•AH=14√(6)，BC=7，
∴AH=2√(6)，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=√(AB2-AH2)=√(25-24)=1，
设BG=x，则CG=7-x，GH=x-1，
同（1）得：AG=CG，
∴AG=7-x，
在Rt△AHG中，AH²+GH²=AG²，
即（2√(6)）²+（x-1）²=（7-x）²，
解得：x=2，
即BG=2．