如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=17，则EG=．

Question

如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH= √(17)，则EG=___．

Answer 1

连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，
∵点F，点G关于直线DE的对称，
∴DF=DG，
正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，
∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD与Rt△CDG中，

AD=CD

DF=DG

，
∴Rt△AFD≌Rt△CDG，
∴∠ADF=∠CDG，
∴∠FDG=∠ADC=90°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∵DH⊥CF，
∴DH=FH=(1)/(2)FG，
∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，
∴四边形APHQ是矩形，
∴∠PHQ=90°，
∵∠DHF=90°，
∴∠PHF=∠DHQ，又在△PFF与△DQH中有

∠HPF=∠HQD=90°

∠PHF=∠DHQ

HF=HD

，
∴△HPF≌△DHQ，
∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；
设正方形APHQ边长为a，则在Rt△MQH中，有（a-3）²+a²=17，解得a=4；
∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，
又易证△FPH∽△EHG，则有(EG)/(FH)=(GH)/(PH)，即EG=(FH2)/(PH)，
又FH²=2²+4²=20，PH=4，
∴EG=5
故答案为：5．