（2014•乐山）如图，抛物线y=x2-2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，-m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m

Question

（2014•乐山）如图，抛物线y=x²-2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，-m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）若m=2，抛物线y=x²-2mx=x²-4x，
∴对称轴x=2，
令y=0，则x²-4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（4，0），
∵P（1，-2），令x=1，则y=-3，
∴B（1，-3），
∴C（3，-3）．

（2）∵抛物线y=x²-2mx（m＞0），
∴A（2m，0）对称轴x=m，
∵P（1，-m）
令x=1，则y=1-2m，
∴B（1，1-2m），
∴C（2m-1，1-2m），
∵PA²=（-m）²+（2m-1）²=5m²-4m+1，
PC²=（2m-2）²+（1-m）²=5m²-10m+5，
AC²=1+（1-2m）²=2-4m+4m²，
∵△ACP为直角三角形，
∴PA²=PC²+AC²，
即5m²-4m+1=5m²-10m+5+2-4m+4m²，整理得：2m²-5m+3=0，
解得：m=(3)/(2)，m=1（舍去），
故m=(3)/(2)．

（3）∵P（1，-m），C（2m-1，1-2m），设直线PC的解析式为y=kx+b，
∴

−m＝k+b

1−2m＝(2m−1)k+b

，解得：k=-(1)/(2)，
∵PE⊥PC，
∴直线PE的斜率=2，
设直线PE为y=2x+b′，
∴-m=2+b′，解得b′=-2-m，
∴直线PE：y=2x-2-m，
令y=0，则x=1+(1)/(2)m，
∴E（1+(1)/(2)m，0），
∴PE²=（-m）²+（(1)/(2)m）²=(5m2)/(4)，
∴(5m2)/(4)=5m²-10m+5，解得：m=2，m=(2)/(3)，
∴E（2，0）或E（(4)/(3)，0），
∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（(4)/(3)，0）；
令x=0，则y=-2-m，
∴E（0，-2-m）
∴PE²=（-2）²+1²=5
∴5m²-10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），
∴E（0，-4）
∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，-4），
∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（(4)/(3)，0）或（0，-4）；