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如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析
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如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP面积的最大值,并求此时点P的坐标.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP面积的最大值,并求此时点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵对称轴为直线x=2,
∴设抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.
将A(-1,0),C(0,5)代入得:
,
解得
,
∴y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.
(2)当a=1时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.
设P(x,-x2+4x+5),
如答图2,过点P作PN⊥y轴于点N,则PN=x,ON=-x2+4x+5,
∴MN=ON-OM=-x2+4x+4.
S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME
=
(PN+OF)•ON-
PN•MN-
OM•OE
=
(x+2)(-x2+4x+5)-
x•(-x2+4x+4)-
×1×1
=-x2+
x+
=-(x-
)2+
,
∴当x=
时,四边形MEFP的面积有最大值为
,
把x=
时,y=-(
-2)2+9=
.
此时点P坐标为(
,
).
∴设抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.
将A(-1,0),C(0,5)代入得:
|
解得
|
∴y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.
(2)当a=1时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.
设P(x,-x2+4x+5),
如答图2,过点P作PN⊥y轴于点N,则PN=x,ON=-x2+4x+5,
∴MN=ON-OM=-x2+4x+4.
S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME
=
1 |
2 |
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1 |
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=
1 |
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1 |
2 |
=-x2+
9 |
2 |
9 |
2 |
=-(x-
9 |
4 |
153 |
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∴当x=
9 |
4 |
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把x=
9 |
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9 |
4 |
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此时点P坐标为(
9 |
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16 |
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