一道数列题,悬赏50分在数列{an}中,a1=1,当n≥2,其前n项和Sn满足Sn²=an（Sn-1/2）.1.求Sn的表达式；2.设bn=Sn/（2n+1）,求{bn}的前n项和Tn

Question

一道数列题,悬赏50分
在数列{an}中,a1=1,当n≥2,其前n项和Sn满足Sn²=an（Sn-1/2）.
1.求Sn的表达式；
2.设bn=Sn/（2n+1）,求{bn}的前n项和Tn

Answer 1

（1） 二楼的第四第三步阴差阳错了,但答案是对的.
S(n)^=a(n)[S(n)-1/2]=[S(n)-S(n-1)][S(n)-1/2]
S(n)^=S(n)^-S(n-1)S(n)-1/2*S(n)+1/2*S(n-1)
S(n-1)S(n)=1/2*S(n-1)-1/2*S(n)
2=[S(n-1)-S(n)]/[S(n-1)S(n)]
容易看出S(n)不为0.化简得到
2=1/S(n)-1/S(n-1)
所以Sn的倒数是等差数列,k=2
因为：a1=s1=1
所以：1/S(n)=2n-1
得：S(n)=1/(2n-1)
(2)
bn=1/(4n^-1) =1/2*1/（2n-1）-1/2*1/（2n+1）= 1/2*S(n)-1/2*S(n+1)
Tn=1/2*(s(1)-s(2)+s(2)-s(3)+……+S(n)-S(n+1)）
=1/2*(s(1)-S(n+1)）
=n/(2n+1）
如上式运算,得：Tn=n/(2n+1）