证明题（本大题5分）1.设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明：至少存在一点ξ属于（0,1）,使f(ξ)=1-ξ2.设函数f(x)在上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x),证明：至少存在一点ξ属于(1,2),使

Question

证明题（本大题5分）
1.设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明：至少存在一点ξ属于 （0,1）,使f(ξ)=1- ξ
2.设函数f(x)在 上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x),证明：至少存在一点ξ属于(1,2),使得 F(ξ)的导数等于零

Answer 1

1.设F(x)＝f(x)+x-1,
因为F(0)=f(0)+0-1=-1,F(1)=f(1)+1-1=1,
由零点定理得：至少存在一点ξ属于（0,1）,使F(ξ)=0,
即f(ξ)=1-ξ.
2.函数f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,
y=x-1也在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,
所以函数F(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,
因为F(2)=(2-1)f(2)=0,F(1)=(1-1)f(1)=0,
又罗尔定理得：
至少存在一点ξ属于(1,2),使得 F(ξ)的导数等于零 .