P是三角形ABC内一点,点批在BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F,满足AP^2+PD^2=BP^2+PE^2=CP^2+PF^2记IaIbIc为三角形ABC旁切圆圆心,求证点P为三角形IaIbIc的外接圆圆心.

Question

P是三角形ABC内一点,点批在BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F,满足 AP^2+PD^2=BP^2+PE^2=CP^2+PF^2
记Ia Ib Ic为三角形ABC旁切圆圆心,求证 点P为三角形IaIbIc的外接圆圆心.

Answer 1

1)等腰三角形
证明:
∵AB=AC,AD⊥BC,AD=AD
∴直角△ADB≌直角△ADC
∴BD=CD
∴DM=BD+BM=CD+CN=DN
∴直角△ADM≌直角△ADN
∴AM=AN
∴△AMN是等腰三角形.
(2)成立.
证明:
∵AM=AN,AD⊥MN,AD=AD
∴直角△ADM≌直角△ADN
∴DM=DN
∴DB=DM-BM=DN-CN=DC
∴直角△ADB≌直角△ADC
∴∠ABC=∠ACB