如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲

Question

如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点．已知水平轨道AB长为L．求：

（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ．
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上．如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道．

Answer 1

（1）小物块最终停在AB的中点，在这个过程中，由动能定理得：-μmg（L+0.5L）=-E      
得：μ=(2E)/(3mgL)
（2）若小物块刚好到达D处，速度为零，同理，有：-μmgL-mgR=-E
解得CD圆弧半径至少为：R=(E)/(3mg) 
（3）设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R，由动能定理得：
-μmgL-1.5mgR=-E′
解得：E′=(7E)/(6)
物块滑回C点时的动能为E_C=1.5mgR=(E)/(2)，由于E_C＜μmgL=(2E)/(3)，故物块将停在轨道上．
设到A点的距离为x，有-μmg（L-x）=-E_C
解得：x=(1)/(4)L 
即物块最终停在水平滑道AB上，距A点(1)/(4)L处．
答：（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ为(2E)/(3mgL)．
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是(E)/(3mg)．
（3）物块最终停在水平滑道AB上，距A点(1)/(4)L处．