"在长度为a的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率"此题使用比例解法的疑问"最长那条设为LL超过或等于0.5a时,不能构成三角形最长那条肯定L>=a/3,无论构成三角形

Question

"在长度为a的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率"此题使用比例解法的疑问
"最长那条设为L L超过或等于0.5a时,不能构成三角形 最长那条肯定L>=a/3,无论构成三角形与否,L所有可能的取值为：a/3= 能构成三角形时,L的取值为：a/3 概率为：P=(a/2-a/3)/(a-a/3)=1/4" ----------------------------------------------------------------------------------------------- 这是使用比例解法的正确做法 我个人理解:此解法将问题简化为"L=2a/3的线段内作一点 求此点截的线段小于(a/2-a/3)=a/6的概率" 然后由此得出上述概率式 但是这样的话存在问题:此点落在线段L左边的1/4和L右边的1/4均可以截出小于a/6的线段,既P=2(a/2-a/3)/(a-a/3)=1/2 是因为此做法简化后的问题有什么我没想到的先决条件么 还是我整个理解就是错误的?3Q

Answer 1

楼主既然说了是“在长度为a的线段内任取两点”,那就应该从任取两点入手,假设任取的两点一个是x,另一个是y,那么x,y和z=a-x-y要构成三角形,需要满足x+y>zx+z>yy+z>x整理一下,把z用a-x-y代替,可以得到以下几个条件:x+y>a/2xy然后楼主画一个边长为a的正方形,看看其中满足这三个条件的面积有多大,答案应该是a^2/8.再看看x+y不大于a的面积有多少,答案是a^2/2,这是允许出现的三等分a的情况,否则z就成负数了.二者相除,得到最终答案是1/4这样,就不必去思考“最长的一段”,这个复杂的东西.
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