已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5和4，两圆相交公共弦的长为6，现作⊙O2的同心圆使之与⊙O1相切，求同心圆的半径．

Question

已知⊙O ₁ 与⊙O ₂ 的半径分别为5和4，两圆相交公共弦的长为6，现作⊙O ₂ 的同心圆使之与⊙O ₁ 相切，求同心圆的半径．

Answer 1

考点：
圆与圆的位置关系
专题：

分析：
根据⊙O1的半径为5，⊙2的半径为4，公共弦AB为6，两圆的圆心的连线与公共弦的交点为C；根据相交两圆的性质，可得O1O2垂直平分AB，利用勾股定理分别求出O1C和O2C，分圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况，根据求出O1C和O2C相加和相减求出相应的O1O2，再分内切与外切求解即可．

如图，⊙O1的半径为5，⊙2的半径为4，公共弦AB=6．根据两圆相交的性质，可得O1O2⊥AB，且C为AB的中点，即AC=12AB=3，在Rt△O1AC中，O1C=52-32=4，同理，在Rt△O2AC中，O2C=42-32=7．圆心在公共弦的异侧时，O1O2=O1C+O2C=4+7，如果作⊙O2的同心圆使之与⊙O1外切，那么同心圆的半径为4+7-5=7-1；如果作⊙O2的同心圆使之与⊙O1内切，那么同心圆的半径为4+7+5=7+9；圆心在公共弦的同侧时，O1O2=O1C-O2C=4-7，作⊙O2的同心圆使之与⊙O1相切，只能内切，不能外切，此时同心圆的半径为5-（4-7）=7+1．
点评：
本题考查了圆与圆的位置关系，相交两圆的性质和勾股定理．利用分类讨论与数形结合是解题的关键．