任意三角形的外接圆与内切圆的半径之比是不是有一些固定的关系?

Question

任意三角形的外接圆与内切圆的半径之比是不是有一些固定的关系?

Answer 1

R=(1/2)a/sinA=(1/2)b/sinB=(1/2)c/sinC
r=bcsinA/(a+b+c)
=2RsinBsinCsinA/(sinA+sinB+sinC)
r/R=2sinBsinCsinA/(sinA+sinB+sinC)
sinA+sinB+sinC
=sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)
=4(sinA/2cosA/2)(cosB/2)^2+4(sinB/2cosB/2)cos(A/2)^2
=4cos(A/2)cos(B/2)sin(A/2+B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
r/R=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)