关于定积分问题由两条抛物线y^2=x和y=x^2在第一象限围成一个曲线图形,假如在这个曲线图形中作一个半径最大的内切圆,是否可以求出该圆的面积和圆的方程?

Question

关于定积分问题
由两条抛物线y^2=x和y=x^2在第一象限围成一个曲线图形,假如在这个曲线图形中作一个半径最大的内切圆,是否可以求出该圆的面积和圆的方程?

Answer 1

两条曲线相交于 A(1,1)点,易见,内切圆的圆心必在y=x这条直线上,
y=x^2的切线方程是 y'=2x,法线方程是,
y法=-1/(2x),过曲线y=x^2上任意一点(x0,y0)的法线方程是 ,y-y0=(x-x0)*(-1/(2x0)),其与y=x的交点是,x=y=(x0+2x0*y0)/(1+2x0)= (x0+2x0^3)/(1+2x0),此点与(x0,y0)之间的距离就是半径r,
r=Sqrt[(x0-(x0+2x0^3)/(1+2x0))^2+(x0^2-(x0+2x0^3)/(1+2x0))^2],r对x0求导并令其等于0,解得x0=1/2,r=1/(4根2)=0.17677669530