已知△ABC是等边三角形，⊙O为它的外接圆，点P是BC上任一点．（1）图中与∠PBC相等的角为；（2）试猜想出三条线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．

Question

已知△ABC是等边三角形，⊙O为它的外接圆，点P是

BC

上任一点．

（1）图中与∠PBC相等的角为______；
（2）试猜想出三条线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）由圆周角定理得，∠PBC=∠PAC．
（2）猜想：AP=BP+CP．
证明：延长BP使PD=PC，连接CD，
∵四边形ABPC为圆内接四边形
∴∠BAC+∠BPC=180°
又∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠BPC=120°
又∵∠BPC+∠CPD=180°
∴∠CPD=60°
∴△PCD是等边三角形．
∴∠D=60°=∠APC．
在△BCD和△ACP中

∠D＝∠APC

∠DBC＝∠PAC

BC＝AC

，
∴△BCD≌△ACP．
∴BD=AP．
∵BD=BP+PD=BP+CP，
∴AP=BP+CP．