（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=35，求tan∠DBC的值．

Question

（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=(3)/(5)，求tan∠DBC的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD；

（2）∵AB=10，
∴OA=OD=(1)/(2)AB=5，
∵OD∥BC，
∴∠AOE=∠ABC，
在Rt△AEO中，
OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×(3)/(5)=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴AE=√(AO2−OE2)=√(52−32)=4，
在Rt△AED中，
tan∠DAE=(DE)/(AE)=(2)/(4)=(1)/(2)，
∵∠DBC=∠DAE，
∴tan∠DBC=(1)/(2)．