（2010•汉阳区一模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB=3，EF=2，求CD的

Question

（2010•汉阳区一模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=3，EF=2，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，OE交AC于G点；
∵BE平分∠ABC；
∴∠ABE=∠CBE；
∴

AE

=

CE

；
∴∠EAC=∠ABE；
∵EF∥AC；
∴∠AEF=∠EAC；
∴∠AEF=∠ABE；
∵OA=OE；
∴∠OAE=∠OEA；
∵AB是直径；
∴∠ABE+∠EAB=90°；
∴∠AEO+∠AEF=90°；
∴OE⊥EF；
∴EF是⊙O切线．

（2）易证△EAF∽△BEF；
∴(EF)/(FB)=(AF)/(EF)；
∴EF²=FB•AF；
∴AF=1；
∵△EAF∽△BEF；
∴(AE)/(BE)=(AF)/(EF)=(1)/(2)；
∵AB=3；
∴AE=(3√(5))/(5)，BE=(6√(5))/(5)；
∵AD∥EF；
∴△ABD∽△FBE；(BD)/(BE)=(BA)/(BF)=(3)/(4)；
∴BD=(9√(5))/(10)；
∵△CBD∽△EBA；(CD)/(BD)=(AE)/(AB)=(√(5))/(5)；
∴CD=(√(5))/(5)BD=(9)/(10)．