给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）

Question

给定椭圆 ：    ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“伴随圆”． 已知椭圆 的两个焦点分别是 ，椭圆 上一动点 满足 ．
（Ⅰ）求椭圆 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）过点P 作直线 ,使得直线 与椭圆 只有一个交点，且 截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ．求出 的值．

Answer 1

给定椭圆 ：    ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“伴随圆”． 已知椭圆 的两个焦点分别是 ，椭圆 上一动点 满足 ．
（Ⅰ）求椭圆 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）过点P 作直线 ,使得直线 与椭圆 只有一个交点，且 截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ．求出 的值．

（Ⅰ） （Ⅱ）

（1）中据椭圆定义及伴椭圆定义容易求出方程；
（2）线 与椭圆 只有一个交点即直线与椭圆相切， ，
截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ，利用直线与圆弦心距，点到直线距离公式，表示出弦长
（Ⅰ）由题意得： 得 ，半焦距 ．．．．2分
则 椭圆 的方程为 “伴随圆”的方程为
（Ⅱ）设过点 ，且与椭圆有一个交点的直线 为 ，
则　 　整理得 ．．．．．．．．．2分
所以 ，解 ①．．．．．．．．4分
又因为直线 截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ，
则有   化简得    ② ．．．．6分
联立① ②解得， ，所以