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切线的判定;圆周角定理;扇形面积的计算.专题:计算题;证明题.分析:(1)要证FD是⊙O的切线只要证明∠OCF=90°即可;(2)根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长;(3)
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切线的判定;圆周角定理;扇形面积的计算.专题:计算题;证明题.分析:(1)要证FD是⊙O的切线只要证明∠OCF=90°即可;
(2)根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长;
(3)根据S阴影=S△OCD-S扇形OBC从而求得阴影的面积.
(2)根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长;
(3)根据S阴影=S△OCD-S扇形OBC从而求得阴影的面积.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接OC(如图①),
∵OA=OC,
∴∠1=∠A.
∵OE⊥AC,
∴∠A+∠AOE=90°.
∴∠1+∠AOE=90°.
∵∠FCA=∠AOE,
∴∠1+∠FCA=90°.
即∠OCF=90°.
∴FD是⊙O的切线.
(2)连接BC,(如图②)
∵OE⊥AC,
∴AE=EC(垂径定理).
又AO=OB,
∴OE∥BC且 OE=1/2BC.
∴∠OEG=∠GBC(两直线平行,内错角相等),
∠EOG=∠GCB(两直线平行,内错角相等),
∴△OEG∽△CBG(AA).
∴ OG/CG=OE/CB=1/2.
∵OG=2,
∴CG=4.
∴OC=OG+GC=2+4=6.
即⊙O半径是6.
(3)∵OE=3,由(2)知BC=2OE=6,
∵OB=OC=6,
∴△OBC是等边三角形.
∴∠COB=60°.
∵在Rt△OCD中,CD=OC•tan60°=6 根号3,
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC= 1/2×6×6根号3-(60π×6的平方)/360= 18根号3-6π.
∵OA=OC,
∴∠1=∠A.
∵OE⊥AC,
∴∠A+∠AOE=90°.
∴∠1+∠AOE=90°.
∵∠FCA=∠AOE,
∴∠1+∠FCA=90°.
即∠OCF=90°.
∴FD是⊙O的切线.
(2)连接BC,(如图②)
∵OE⊥AC,
∴AE=EC(垂径定理).
又AO=OB,
∴OE∥BC且 OE=1/2BC.
∴∠OEG=∠GBC(两直线平行,内错角相等),
∠EOG=∠GCB(两直线平行,内错角相等),
∴△OEG∽△CBG(AA).
∴ OG/CG=OE/CB=1/2.
∵OG=2,
∴CG=4.
∴OC=OG+GC=2+4=6.
即⊙O半径是6.
(3)∵OE=3,由(2)知BC=2OE=6,
∵OB=OC=6,
∴△OBC是等边三角形.
∴∠COB=60°.
∵在Rt△OCD中,CD=OC•tan60°=6 根号3,
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC= 1/2×6×6根号3-(60π×6的平方)/360= 18根号3-6π.
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