正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到对角线BC1的距离相等，则点P的轨迹是．

Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到对角线BC₁的距离相等，则点P的轨迹是 ___．

Answer 1

假设正方体边长为1，
作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC₁，连接PF，
因为PE⊥CC₁，BC∩CC₁=C，所以PE⊥平面BCB₁C₁，
则PE⊥BC₁，又EF⊥BC₁，PE∩EF=E，
所以BC₁⊥平面PEF，则BC₁⊥PF，
所以PF是P到对角线BC₁的距离，
以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系；
设任意一点P（x，y），到直线AD距离为|y|，到BC的距离PE=1-y，
在RT△BEF中，BE=1-x，EF=(√(2))/(2)(1-x)，
在RT△PEF中，PF=√(|PE|2+|EF|2)=√((1-y)2+[(√(2))/(2)(1-x)]2)，
因为P到棱AD的距离与到对角线BC₁的距离相等，
所以|y|=√((1-y)2+[(√(2))/(2)(1-x)]2)，
化简得，（x-1）²=-4y+2（y≤(1)/(2)），
所以点P的轨迹是抛物线，
故答案为：抛物线．