在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到面对角线BC1的距离相等，则点P的轨迹是（）A、线段B、椭圆的一部分C、双曲线的

Question

在正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到面对角线BC ₁ 的距离相等，则点P的轨迹是（　　）

A、线段

B、椭圆的一部分

C、双曲线的一部分

D、抛物线的一部分

Answer 1

考点：
棱柱的结构特征
专题：
空间位置关系与距离
分析：
作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC1，连接PF，由线面垂直的判定定理、定义可得：PF是P到BC1的距离，以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系，利用条件建立方程，化简后判断出点P的轨迹．

假设正方体边长为1，作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC1，连接PF，因为PE⊥CC1，BC∩CC1=C，所以PE⊥平面BCB1C1，则PE⊥BC1，又EF⊥BC1，PE∩EF=E，所以BC1⊥平面PEF，则BC1⊥PF，所以PF是P到对角线BC1的距离，以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系；设任意一点P（x，y），到直线AD距离为|y|，到BC的距离PE=1-y，在RT△BEF中，BE=1-x，EF=22(1-x)，在RT△PEF中，PF=PE2+EF2=(1-y)2+[22(1-x)]2，因为P到棱AD的距离与到对角线BC1的距离相等，所以|y|=(1-y)2+[22(1-x)]2，化简得，（x-1）2=-4y+2（y≤12），所以点P的轨迹是抛物线的一部分，故选：D．
点评：
本题考查轨迹方程以及轨迹，线面垂直的判定定理、定义，考查学生分析解决问题的能力，确定轨迹方程是关键．