如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Question

如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．

（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴(AC)/(BC)=(EC)/(FC)=√(2)，
又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF．

（2）：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠CBF，(AE)/(BF)=(AC)/(BC)，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵(AE)/(BF)=(AC)/(BC)=√(2)，AE=2
∴(2)/(BF)=√(2)，
∴BF=√(2)，
∴EF²=BE²+BF²=3，
∴EF=√(3)，
∵CE²=2EF²=6，
∴CE=√(6)．