如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE+∠CBE=90°．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Question

如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE+∠CBE=90°．

（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴(AC)/(BC)=(CE)/(CF)=√(2)，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF．

（2） ∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠△CBF，(AE)/(BF)=(AC)/(BC)，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵(AE)/(BF)=(AC)/(BC)=√(2)，AE=2
∴(2)/(BF)=√(2)，
∴BF=√(2)，
∴EF²=BE²+BF²=3，
∴EF=√(3)，
∵CE²=2EF²=6，
∴CE=√(6)．