在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=3m，BC=4m，高BB1=5m，求：（1）写出B1D、BC1在平面ABCD内的射影；（2）对角线DB1与平面ABCD所成角的大小；（3）BC1与平面ABCD所成角的正切．

Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=3m，BC=4m，高BB₁=5m，求：

（1）写出B₁D、BC₁在平面ABCD内的射影；
（2）对角线DB₁与平面ABCD所成角的大小；
（3）BC₁与平面ABCD所成角的正切．

Answer 1

（1）∵B₁B⊥平面ABCD，垂足为B，
∴B₁D在平面ABCD内的射影为BD；
∵C₁C⊥平面ABCD，垂足为C，
∴BC₁在平面ABCD内的射影为BC．
（2）∵B₁B⊥平面ABCD，垂足为B，B₁D在平面ABCD内的射影为BD，
∴∠B₁DB是对角线DB₁与平面ABCD所成角，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=3m，BC=4m，高BB₁=5m，
∴BD=√(9+16)=5（m），
∴tan∠B₁DB=(BB1)/(BD)=(5)/(5)=1，∴∠B₁DB=45°，
∴对角线DB₁与平面ABCD所成角的大小为45°．
（3）∵C₁C⊥平面ABCD，垂足为C，BC₁在平面ABCD内的射影为BC，
∴∠C₁BC是BC₁与平面ABCD所成角，
tan∠C₁BC=(CC1)/(BC)=(5)/(4)，
∴BC₁与平面ABCD所成角的正切为(5)/(4)．