三个圆两两相交,怎么证明三条公共弦交于一点

Question

三个圆两两相交,怎么证明三条公共弦交于一点

Answer 1

当三个圆心在一条直线上时,三条公共弦互相平行.三条根轴中有两条相交,三条公共弦交于一点设三个圆的方程分别为:
x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0; (1)
x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0; (2)
x^2+y^2+D3x+E3y+F3=0.(3)
(1)-(2)得:
(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 (4)
(2)-(3)得:
(D2-D3)x+(E2-E3)y+F2-F3=0 (5)
(3)-(1)得:
(D3-D1)x+(E3-E1)y+F3-F3=0 (6)
若直线(4)与(5)有交点,将(4)+(5)相加得(6)式,所以三线共点.
若直线(4)与(5)没有交点,即平行,于是存在实数k,使得:
D1-D2=k(D2-D3); E1-E2=k(E2-E3); F1-F2=k(F2-F3).
所以 D3-D1=D3-D2+D2-D1=(1+k)(D3-D2);
同理 E3-E1=(1+k)(E3-E2); F3-F1=(1+k)(F3-F2)
所以直线(5)与直线(6)平行,从而三线两两平行.