已知a的立方+b的立方=2求证a+b小于等于2网上有答案,可是我有一步不明白.为什么(a-1/2b)^2+3/4b^2>=1如果有会的,最好用上反证法

Question

已知a的立方+b的立方=2 求证a+b小于等于2
网上有答案,可是我有一步不明白.为什么(a-1/2b)^2+3/4b^2>=1
如果有会的,最好用上反证法

Answer 1

.反证法
假设x+y>2
x³+y³ > x³+(2-x)³ = 6x²-12x+8 = 6(x-1)²+2 ≥ 2
与x³+y³=2 矛盾
即原命题的逆否命题不成立,则原命题不成立
2.不等式
x³y + xy³≥2√(x³y*xy³)=2x²y²
x²+y²≥1/2x²+1/2y²+xy=1/2(x+y)²
(x+y)(x³+y³)=x^4 + y^4 + x³y + xy³≥x^4 + y^4 + 2x²y²=(x²+y²)²≥1/4(x+y)^4
所以
(x+y)³≤4(x³+y³)=8
所以x+y≤2