如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）

Answer 1

证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中

AB＝AC

∠ABP＝∠ACP

BP＝CP

∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC-∠PBC＞∠ACB-∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°-∠ABP-∠APB＜180°-∠ACP-∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．