反证法：已知m,n,p都是正整数,求证：在三个数a=m/(n+p),b=n/(p+m),c=p/(m+n)中,至多有一个数不小于1.

Question

反证法：已知m,n,p都是正整数,求证：
在三个数
a=m/(n+p) ,b=n/(p+m) ,c=p/(m+n)
中,至多有一个数不小于1.

Answer 1

利用反证法,假设三个数至少一个数不小于1,也就是都满足下面三个不等式:
a=m/(n+p)≥1 --->m≥n+p (1)
b=n/(p+m)≥1 --->n≥m+p (2)
c=p/(m+n)≥1 --->p≥m+n (3)
由(1),(2)得,m+n≥m+n+2p --->0≥2p --->0≥p
与P是正数矛盾.所以假设不成立,即在三个数中,至多有一个数不小于1.
注:你也可以利用(1)和(3){n≤0}、(2)和(3){m≤0}推出矛盾的结论.