求证：当p.q都是奇数时,方程x^2+2px+2p=0(p^2-2p>0)的根都是无理数（用反证法）

Question

求证：当p.q都是奇数时,方程x^2+2px+2p=0(p^2-2p>0)的根都是无理数（用反证法）

Answer 1

貌似后一个p应为q吧假设存在有理根则由求根公式得根：（-2p+√((2p)2-4*2q))/2与（-2p-√((2p)2-4*2q))/2中至少有一个为有理数∴√((2p)2-4*2q)为有理数即存在有理数a使：(2p)2-4*2q=a2p,q奇数a整数化简方程：4*p2-4*2q=a2∴可设a=2b∴p2-2q=b2∴p2-b2=2q∴(p-b)(p+b)=2q若b奇数,则p-b,p+b偶数,则2q=(p-b)(p+b)为4的倍数,q为偶数,矛盾若b偶数,则p-b,p+b奇数,则2q=(p-b)(p+b)为奇数,矛盾