用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．

Question

用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．

Answer 1

如图：已知在△ABC中，∠A＞90°，D是BC中点．求证：AD＜(1)/(2)BC．
证明：假设AD≥(1)/(2)BC．
①若AD=(1)/(2)BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”知∠BAC=90°，与题设矛盾．∴AD≠(1)/(2)BC．
②若AD＞(1)/(2)BC，∵BD=DC=(1)/(2)BC，
∴在△ABD中，AD＞BD，从而∠B＞∠DAB．同理∠C＞∠CAD．
∴∠B+∠C＞∠BAD+∠CAD，即∠B+∠C＞∠BAC．
∵∠B+∠C=180°-∠BAC，∴180°-∠BAC＞∠BAC，
则∠BAC＜90°，与已知矛盾．
由①②知AD＜(1)/(2)BC．